РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА - Математика с дополнительной специальностью Информатика




rekomenduemij-oleg-bocharovpank-enciklopediyavse-chto-vi-hoteli-uznat-o-panke-hardkore-sajkobilli-ska-i-alternative.html
rekomenduemij-poryadok-zapolneniya-rascheta-po-nachislennim-i-uplachennim.html

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

  1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.

  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.:Наука, 1977.

  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.

  4. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.

  5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во "Лань", 2005.

  6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1970.

  7. Сборник задач по алгебре / Под ред. А.И. Кострикина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

  8. Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.:Факториал, 1999.

  9. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973.

  10. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1980.


ГЕОМЕТРИЯ
Векторы. Сложение векторов и его свойства. Разность векторов. Теорема о разности векторов. Произведение вектора на число и его свойства. Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарных векторах. Компланарные векторы.Теорема о компланарных векторах.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Теорема о линейной зависимости систем, состоящих из одного, двух и трех векторов. Базис векторного пространства. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора относительно базиса и их свойства координат вектора. Теорема о вычислении длины вектора по его координатам в ортонормированном базисе.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Теорема о вычислении скалярного произведения по координатам в ортонормированном базисе. Векторное подпространство. Двумерное векторное подпространство.

Система координат на плоскости. Простейшие задачи в координатах. Деление отрезка в данном отношении.

Определители матрицы перехода от одного базиса к другому и их свойства.

Ориентация двумерного векторного подпространства.

Направленный угол между векторами. Теорема о геометрическом смысле координат векторов в ортонормированном базисе. Формулы преобразования координат. Частные случаи.

Полярная система координат. Связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами.

Алгебраическая линия, ее порядок. Уравнение окружности. Уравнения прямой, заданной разными способами. Теорема об общем уравнении прямой. Условие параллельности вектора и прямой. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Теоремы о взаимном расположении двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Угол между двумя прямыми. Ориентированный угол между двумя прямыми на плоскости. Формулы для вычисления тангенса направленного угла между прямыми.

Движения плоскости. Примеры. Основная теорема о движении плоскости. Свойства движений плоскости. Теорема о двух видах движения плоскости. Примеры движений 1 и 2 рода. Вывод формул движения плоскости Теорема о формулах движения. Инвариантные точки и прямые движения плоскости. Классификация движений первого и второго рода на плоскости. Представление движений в виде композиции осевых симметрий. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Группа симметрий геометрической фигуры

Гомотетия плоскости и ее свойства. Подобие плоскости. Его свойства и формулы. Примеры. Представление подобия в виде композиции гомотетии и движения. Классификация подобий. Группа подобий плоскости и ее подгруппы.

Аффинные преобразования плоскости. Основная теорема об аффинных преобразованиях. Свойства аффинных преобразований плоскости. Вывод формул аффинных преобразований плоскости. Теорема о формулах аффинного преобразования.

Перспективно-аффинные преобразования плоскости и их свойства. Сдвиг, косое сжатие и их свойства. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.

Эллипс и его свойства. Гипербола и ее свойства. Парабола и ее свойства. Директориальные свойства эллипса, гиперболы. Полярные уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

Линия второго порядка. Векторы и прямые асимптотического направления относительно линии 2-го порядка, тип линии, теорема об асимптотических направлениях. Лемма о векторе асимптотического направления параболического типа. Лемма о координатах середины хорды, теорема о центре линии 2-гопорядка. Центральные и нецентральные линии

Касательная к линии 2-го порядка. Обыкновенные и особые точки. Уравнение касательной к линии 2-го порядка. Теорема о диаметре линии 2-го порядка, свойства, сопряженные диаметры. Сопряженные направления относительно линии 2-го порядка, их свойства. Главные направления относительно линии 2-го порядка, формула для нахождения главных направлений линии 2-го порядка. Главные диаметры линии 2-го порядка, свойства, уравнения диаметров. Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.

Координаты точек в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Определители перехода и их свойства. Ориентация пространства. Формулы преобразования координат в пространстве.

Смешанное произведение векторов. Теорема о смешанном произведении. Свойства. Векторное произведение векторов. Теорема о связи векторного и смешанного произведения. теорема о вычислении координат векторного произведения..Свойства.

Уравнения плоскости, заданной различными способами. Теоремы об общем уравнении плоскости. Условие параллельности вектора и плоскости. Взаимное расположение плоскости и системы координат. Геометрический смысл знака четырехчленна Ax+Вy+Cz+D. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Взаимное расположение трех плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Угол между плоскостями. Способы задания прямой в пространстве. Лемма о направляющем векторе прямой. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Метрические задачи теории прямых. Метод сечений.

Поверхности вращения. Эллипсоид и его свойства. Однополостный гиперболоид и его свойства. Двуполостный гиперболоид и его свойства. Эллиптический параболоид и его свойства. Гиперболический параболоид и его свойства. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Цилиндрические поверхности и их уравнения. Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности и их уравнения. Конические поверхности второго порядка.

n-мерное векторное пространство. Задание подпространства векторного пространства. Билинейная форма. Теорема о существовании в Vn базиса с сопряженными базисными векторами. Евклидово n-мерное векторное пространство. Свойства скалярного произведения. Теорема о существовании ортонормированного базиса

Аффинное n-мерное пространство. Свойства Аn. Формулы преобразования системы координат.

К-мерные плоскости. Способы задания. Теорема об общем уравнении к-плоскости. Задание плоскости системой линейно независимых точек. Взаимное расположение к-плоскостей. Гиперплоскость.

Евклидово n-мерное пространство.

Квадратичные формы. Ранг квадратичной формы. Теоремы о каноническом и нормальном виде квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Признак положительно определенной квадратичной формы.

Квадрики. Центр квадрики. Цилиндрические квадрики и конические квадрики. Теорема о приведении квадрики к нормальному виду. Классификация нецилиндрических квадрик.
ПЕРЕЧЕНЬ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ:

  1. Даны векторы  и . Постройте векторы 5, .

  2. Дан параллелепипед , О – точка пересечения диагоналей параллелепипеда. Найдите координаты векторов  в базисе {.

  3. (5,-2,0), (0,-3,4), (-6,0,1). Образуют ли векторы , , базис?

  4. Являются ли векторы компланарными (3,-4,1), (-2,1,1), (-1,3,-2)?

  5. Представить вектор (3,-2,14) как линейную комбинацию векторов , , , если (-1,5,4), (0,1,0), (2,-3,5).

  6. Пусть { , , } - ортонормированный базис. При каких значениях  векторы и перпендикулярны?

  7. Дана аффинная система координат. Постройте точки А(3,0), В(0,-4), С(2,3), D(-5, ½).

  8. АВСD – параллелограмм, А(-2,1), В(1,3), С(4,0). Найдите координаты вершины D.

  9. Будет ли угол АВС острый, прямой, или тупой, если А(0,0), В(2,0), С(1, ) (ПДСК)?

  10. Точка С лежит на отрезке АВ и АС : СВ = 2 : 3. а) Найдите простое отношение (АВ,С); б) зная координаты точек А(1, 1) и В(2, -1), найдите координаты точки С.

  11. Зная координаты вершин треугольника АВС А(5,-4), В(-1,2), С(5,1) в прямоугольной декартовой системе координат, найдите длину медианы АМ.

  12. Найдите параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку Р(-2,3) параллельно прямой 2х-5у+1=0; б) проходящей через точки М1(0, -2) и М2(3, - 4); в) проходящей через точку М0(1, -3) и параллельной оси Ох.

  13. Даны две вершины треугольника АВС А(-1, 5), В(3,2) и точка Н(5, -3) пересечения его высот (). Составьте уравнения сторон этого треугольника.

  14. Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых:

а) х+3у-3=0 и 2х-2у-6=0; б) х+2у+1=0 и 2х+4у+3=0; в) у=3 и х+у=0;

г) х-у-3=0 и 2х-2у-6=0; д) х=1+t, у=2- t и х=2t, у=3-2t; е) х+2у+3=0 и х=1- t, у=2+2t.

  1. Вычислите расстояние от точки М до прямой l, если М(2, 4) и l: 3х+4у+3=0.

  2. Найдите уравнения касательных к окружности 5, проходящих через точку М(-1, 3).

  3. В аффинной системе координат даны координаты вершин параллелепипеда : А(2,-1,1), В(1,3,4), А1(4,2,0), D(6,0,1). Найдите координаты остальных вершин.

  4. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах , ,  , если { - ортонормированный базис.

  5. Найдите отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра, ребрами которого служат диагонали трех граней параллелепипеда, выходящие из одной его вершины.

  6. Найдите длину высоты тетраэдра , если А(2, 4, -1), В(2, 5, 0), С(6, 4, 0), (5, 10, -1).

  7. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , если , , .

  8. Дан параллелепипед , . Найдите расстояние между прямыми и .

  9. Найдите длину высоты параллелепипеда, построенного на векторах , ,  , где { , }- ортонормированный базис.

  10. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей и , и перпендикулярной к плоскости (ПДСК).

  11. Через точку А(-5,16,15) проведены плоскости: одна содержит ось , другая - . Найдите угол между этими плоскостями (ПДСК).

  12. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку К(2, 1, -1), которая перпендикулярна прямым и (ПДСК).

  13. Найдите уравнения проекции прямой на плоскость 1 2 3

    mpedagog.ru